Additiva (forma, rappresentazione)

2+2+2+2 oppure 5+3 sono rappresentazioni additive del numero 8, allo stesso modo in cui 2×4 fornisce una rappresentazione moltiplicativa e 2³ una esponenziale. Le tre forme, nell’ordine, esprimono l’evoluzione del pensiero matematico, e ognuna di esse ingloba culturalmente le precedenti. Anche gli alunni, non necessariamente in base all’età, riproducono questa evoluzione. Spesso si trovano inizialmente più a loro agio con la rappresentazione additiva: è quella più spontanea, più rassicurante, è stata studiata per prima, ha determinato quasi un imprinting nel pensiero.
Ad esempio: nel corso dell’esperienza con la bilancia (v. Unità 6: Dalla bilancia alla equazione) accade che gli alunni di quinta primaria, nel costruire le loro prime equazioni, incontrino una situazione nella quale su uno dei piatti ci sono più oggetti uguali di peso sconosciuto. Si nota allora come le rappresentazioni riflettano l’epistemologia dei loro autori (frutto della loro storia personale e delle loro convinzioni):
1) ‘insieme di oggetti’ x x x
2) rappresentazione additiva del peso totale x + x + x
3) rappresentazione moltiplicativa del peso totale 3x
Ma la stessa situazione si presenta anche in un ambiente aritmetico.
Ad esempio, in un problema come:
L’insegnante compera per la sua classe 18 confezioni uguali ognuna delle quali contiene una gomma e un temperamatite aventi lo stesso costo di 1,4 €. Rappresenta la situazione in modo da trovare la spesa.
alcuni alunni ricorrono a rappresentazioni moltiplicative del tipo 1,4×2×18.
Quelli che avviano la rappresentazione additiva 1,4+1,4 si trovano di fronte alla difficoltà del necessario inserimento di una parentesi (1,4+1,4)×18; ma quando questo non avviene la scrittura 1,4+1,4×18 conduce naturalmente ad un risultato sbagliato (a volte può accadere che lo studente trascuri di scrivere la parentesi – errore sintattico – ma si comporti come se essa ci fosse – correttezza procedurale – e trovi comunque il risultato corretto).

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