Classi di equivalenza

Quando è data una relazione di equivalenza su un insieme I, si possono ripartire gli elementi di I in sottoinsiemi, in modo che ogni sottoinsieme contenga solo tutti gli elementi tra loro in relazione. Un tale sottoinsieme prende il nome di classe di equivalenza.
Più precisamente, poiché ogni elemento è almeno in relazione con se stesso, esso appartiene ad una classe di equivalenza che risulta essere unica. Questo permette di parlare di classe di equivalenza individuata dall’elemento. Preso a appartenente ad I, la classe di equivalenza individuata dall’elemento a è il sottoinsieme di I che contiene a e tutti gli elementi in relazione con a.
Quindi una relazione di equivalenza organizza gli elementi dell’insieme I ripartendoli in classi di equivalenza e fornisce, così, un criterio di classificazione.
Qualche esempio:
– nell’organizzazione sociale, fino a pochi anni fa, le classi di leva erano classi di equivalenza nell’insieme dei cittadini maschi rispetto alla relazione “essere nati nello stesso anno”;
– quando la relazione è la congruenza nell’insieme I di tutti i segmenti nel piano o nello spazio, quelli di una stessa classe di equivalenza hanno la stessa lunghezza;
– quando la relazione è la congruenza nell’insieme I degli angoli nel piano o nello spazio, quelli che stanno nella stessa classe di equivalenza hanno la stessa ampiezza;
– quando la relazione è l’equivalenza nell’insieme delle frazioni, quelle di una stessa classe corrispondono allo stesso numero razionale.
Tutti gli elementi che appartengono alla stessa classe di equivalenza sono intercambiabili (basti pensare all’addizione tra frazioni con denominatori diversi: ridurre allo stesso denominatore equivale a sostituire alle frazioni assegnate quelle delle relative classi di equivalenza che in quella situazione fanno più comodo, hanno cioè denominatori uguali).

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