Funzione

Una funzione di un insieme A in un insieme B è una particolare relazione che ad ogni elemento di A fa corrispondere un solo elemento di B. Facendo riferimento alla rappresentazione sagittale ciò significa che da ogni elemento di A parte una sola freccia verso B e nella rappresentazione cartesiana ogni parallela all’asse delle y incontra il grafico in un solo punto.
Per favorire il passaggio dalle relazioni alle funzioni, si utilizza per le funzioni il termine relazioni funzionali come è evidente dalla lettura dell’Unità 9 della Collana ArAl.
Va rilevato che alcuni autori, invece, fanno distinzione tra i due concetti. Per essi:
– sono relazioni funzionali quelle relazioni (A B) in cui da ogni elemento di A parte al massimo una freccia (un elemento di A potrebbe, quindi, avere una sola immagine in B o nessuna);
– sono funzioni di A in B le relazioni funzionali ovunque definite in A (ogni elemento di A ha un corrispondente).
Qualunque sia il punto di vista, comunque, per stabilire se una relazione è una funzione , si deve porre l’attenzione sull’insieme di partenza.
A partire dalla fisionomia delle immagini (l’analisi si sposta quindi all’insieme di arrivo) si possono, invece, individuare tre tipi notevoli di funzioni:
iniettive, quando nessun elemento di B è immagine di più di un elemento di A (nella rappresentazione sagittale: ad ogni elemento di B arriva una sola freccia o nessuna);
suriettive, quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A (nella rappresentazione sagittale: ad ogni elemento di B arrivano una o più frecce);
biiettive o biunivoche, quando sono iniettive e suriettive (nella rappresentazione sagittale ad ogni elemento di B arriva una sola freccia). In questo caso anche la relazione inversa è una funzione (la funzione si dice allora invertibile: nello scambio di ruoli tra dominio e condominio si mantengono tutte le proprietà).
Analizziamo qualche esempio.
a) Sia A l’insieme degli iscritti in una data scuola, B l’insieme delle classi della stessa scuola. La relazione che associa ad ogni alunno la propria classe è una funzione non iniettiva (ogni classe corrisponde a più alunni), ma suriettiva (ad ogni classe corrisponde almeno un alunno).
b) Nell’insieme N dei numeri naturali, la funzione che ad ogni numero naturale associa il suo successivo è iniettiva, ma non suriettiva (lo zero non è il successivo di nessun numero).
c) Di una data classe, siano A l’insieme degli iscritti e B l’insieme dei banchi. La relazione che ad ogni allievo associa il suo banco è una funzione iniettiva e suriettiva, quindi biunivoca.

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