Relazione di equivalenza

La riflessione sull’uguaglianza, in particolare sull’interpretazione che gli alunni danno del segno di uguale come operatore direzionale, impone una riflessione sul significato, sulle proprietà e sull’uso delle relazioni di equivalenza. Le relazioni in un insieme possono godere di alcune proprietà; quelle che chiamiamo ‘di equivalenza’, in particolare, godono delle seguenti tre:
• proprietà riflessiva: ogni elemento dell’insieme è in relazione con sé stesso;
• proprietà simmetrica: se un elemento a è in relazione con un elemento b allora anche l’elemento b è in relazione con l’elemento a;
• proprietà transitiva: se un elemento a è in relazione con un elemento b, e l’elemento b è in relazione con un elemento c, allora anche a è in relazione con c.
Sono esempi di relazioni di equivalenza in un insieme di persone: l’avere la stessa altezza, l’avere lo stesso peso, l’avere lo stesso nome, l’essere nati nello stesso anno.
L’importanza delle relazioni di equivalenza risiede nel fatto che esse stanno alla base dell’uguaglianza, che di fatto risulta essere sempre una uguaglianza relativa a qualche carattere (nel caso degli esempi: uguaglianza in altezza, in peso, in anno di nascita).
In una relazione d’equivalenza elementi tra loro in relazione sono detti equivalenti e possono essere identificati rispetto alla proprietà caratteristica della relazione. In molte nostre unità si è operato nell’insieme delle espressioni di numeri naturali e si sono identificate quelle con lo stesso risultato; quest’ultimo può considerarsi prototipo di tutte le espressioni equivalenti, ciascuna delle quali tuttavia è un legittimo rappresentante di questo.

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