Successione

Il concetto di successione nasce, per estensione, da comuni esperienze di seriazione, dove, di fronte ad un insieme di elementi, prendendo come riferimento la sequenza verbale numerica, si trasferisce l’ordinamento di un segmento iniziale di naturali all’insieme dato assegnandogli un ordine (ricordiamo che l’ordinamento dei naturali nasce dal loro processo di generazione a partire dallo zero mediante l’operatore ‘+1’).
La lista delle lettere dell’alfabeto è uno degli esempi basilari. La sua elencazione è il risultato di un processo di corrispondenza che ad 1 associa la lettera A, al 2 la B, al 3 la C e così via. Questo criterio sta alla base della costituzione di tutti i tipi possibili di elenchi e liste. In genere tali esperienze, riguardando insiemi finiti, non consentono di andare ‘oltre’ e di cogliere ‘l’infinità’ insita nel processo di corrispondenza.
Da un punto di vista matematico per successione si intende una corrispondenza che assegna ad ogni numero naturale un elemento di un fissato insieme. Ad esempio: la scrittura 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; … indica la corrispondenza che ad ogni naturale n associa il numero 3n. La corrispondenza è quella che, da un punto di vista funzionale si rappresenta come l’operatore ‘×3’.

0      1      2      3      4      5      6      7      →
↓×3
0      3      6      9     12    15    18    21

In una successione può accadere che a posti diversi possa anche corrispondere lo stesso oggetto. Per mettere bene in luce questo fatto, si consideri la seguente successione costituita dalla ripetizione del modulo ‘quadro tondo cuore’.

1      2      3      4      5      6      7      8      9     10    11     12     →
↓       ↓      ↓       ↓       ↓      ↓      ↓       ↓      ↓      ↓       ↓       ↓
◊      •      ♥      ◊      •      ♥     ◊      •      ♥     ◊       •      ♥

Gli elementi del modulo costituiscono l’insieme degli elementi che corrispondono ai numeri naturali. Il quadro viene a corrispondere ai numeri 1; 4; 7; 10; il tondo ai numeri 2; 5; 8; 11; il cuore ai numeri 3; 6; 9;12 e così via.
Storicamente hanno particolare interesse le successioni che si possono generare a partire da un numero dato.
In un primo caso, aggiungendo lo stesso numero ai risultati via via ottenuti. Ad esempio, la successione
5; 8; 11; 14; 17; …
si ottiene aggiungendo 3 al numero 5, poi aggiungendo 3 al risultato 8, di nuovo 3 al risultato 11, e così via.
Nel secondo caso, la successione
2; 6; 18; 54; 162; …
si ottiene moltiplicando 2 per 3, poi moltiplicando per 3 il risultato 6, moltiplicando di nuovo per 3 il risultato 18, e così via.
Queste successioni, per il particolare algoritmo che le genera, sono dette rispettivamente progressioni aritmetiche e progressioni geometriche. Sono state studiate sin dall’antichità anche per la loro interessante analogia strutturale.

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